שאלה קצרה – סדרה הנדסית במשולש ישר זווית – בגרות קיץ 2026 מועד ב׳סדרות 571 · שיעור 50
קיץ 2026 מועד ב׳, שאלה 1 · סעיף ד
שיעור 50: שאלה קצרה – סדרה הנדסית במשולש ישר זווית – בגרות קיץ 2026 מועד ב׳
פרק 9 – שאלות קצרות בסדרות (שאלה 1 בבגרות 571)
1נוסח השאלה
2סעיף ד (1) – האם האיבר השני יכול להיות BC
3סעיף ד (2) – אורך הצלע BC
📄 נוסח השאלה
ד. בסרטוט שבשאלון מתואר משולש ישר זווית ABC (הזווית CAB היא בת 90 מעלות). נתון כי אורכי צלעות המשולש הם שלושת האיברים הראשונים בסדרה הנדסית. האיבר הראשון בסדרה שווה לאורך הצלע AB. נתון: AB = 1.
(1) האם ייתכן שהאיבר השני בסדרה שווה לאורך הצלע BC? נמקו את תשובתכם.
(2) מצאו את אורך הצלע BC (בתשובתכם תוכלו להשאיר שורש).
סעיף ד (1) – האם האיבר השני יכול להיות BC
במשולש ישר זווית היתר הוא הצלע הארוכה ביותר. הזווית הישרה היא A, ולכן היתר הוא BC, והוא ארוך מ־AB ומ־AC.
האיברים: a1 = AB = 1, a2, a3 (כולם אורכים, ולכן חיוביים, והמנה q > 0).
נניח שהאיבר השני הוא BC:
📐 איבר כללי בסדרה הנדסית
a2 = BC = 1 · q = q
a3 = AC = 1 · q2 = q2
כי BC הוא היתר, הוא ארוך מ־AB: q > 1.
📐 איבר כללי בסדרה הנדסית
an = a1 · qn−1
סעיף ד (1) – האם האיבר השני יכול להיות BC · המשך
כי BC הוא היתר, הוא ארוך מ־AB: q > 1.
אבל אז גם AC ארוך מ־BC:
q > 1 ⇒ q2 > q
⇒ AC > BC
כלומר הניצב AC ארוך מהיתר – זה בלתי אפשרי.
✅ פתרון סופי: לא ייתכן – אם BC = q אז היתר חייב להיות גדול מ־1, ואז AC = q2 > q = BC, והניצב ארוך מהיתר
סעיף ד (2) – אורך הצלע BC
לפי סעיף ד(1), האיבר השני הוא AC והשלישי הוא BC:
AC = q , BC = q2
📐 איבר כללי בסדרה הנדסית
(היתר BC הארוך ביותר, ולכן q > 1 – הסדרה עולה.)
AB2 + AC2 = BC2
📐 משפט פיתגורס
12 + q2 = (q2)2
1 + q2 = q4
📐 איבר כללי בסדרה הנדסית
an = a1 · qn−1
📐 משפט פיתגורס
ניצב2 + ניצב2 = יתר2
סעיף ד (2) – אורך הצלע BC · המשך
1 + q2 = q4
q4 − q2 − 1 = 0
נסמן t = q2 (וזה בדיוק BC):
t2 − t − 1 = 0
t = 1 ± √1 + 42 = 1 ± √52
📐 נוסחת השורשים
t = q2 חיובי, ולכן הפתרון 1 − √52 < 0 נפסל.
📐 נוסחת השורשים
x = −b ± √b2 − 4ac2a
סעיף ד (2) – אורך הצלע BC · המשך
t = q2 חיובי, ולכן הפתרון 1 − √52 < 0 נפסל.
BC = t = 1 + √52 ≈ 1.618
בדיקה: AC2 = q2 ≈ 1.618, 1 + 1.618 = 2.618, BC2 ≈ 1.6182 ≈ 2.618 ✓
✅ פתרון סופי: BC = 1 + √52 ≈ 1.618
📌 סיכום התשובות
סעיף ד (1)
לא
סעיף ד (2)
BC = 1 + √52
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא